دراسة تحليلية ورقمية لأصفار دالة الخطأ، والتوافق المحلي، والسلوك التقاربي القطاعي

الملخص

    تلعب دالة الخطأ المركبة erf(z) دورًا حاسماً في الرياضيات التطبيقية والفيزياء والهندسة، ومع ذلك لا تزال العديد من خصائصها التحليلية الأعمق في المجال المركب غير مستكـشفة بشكل كافٍ. تقدم هذه الورقة دراسة تحليلية ورقمية شاملة لـ erf(z)، مع التركيز على توزيعها الصفري وسلوك التعيين المطابق وبنيتها التقاربية القطاعية باستخدام أدوات كلاسيكية من التحليل المركب، بما في ذلك نظرية روش، ومبدأ الحجة، والتكامل الكفافي، ندرس بنية المناطق المحتملة الخالية من الأصفار، ونقدم أدلة عددية على غياب الأصفار في قطاعات محدودة معينة. وبالتحديد، تشير الاستكشافات العددية إلى عدم وجود أصفار في قطاعات زاوية محدودة مختارة ضمن دقة حسابية تبلغ 10⁻⁸، وهو ما يتوافق مع البنية التحليلية المستنتجة في هذه الدراسة. يتم فحص الطبيعة المطابقة لدالة الخطأ erf(z)، كدالة كاملة وغير ثابتة، من خلال تحليل جاكوبيان وتصورات تلوين المجال، مما يكشف عن تحويلاتها التي تحافظ على الزاوية ولكنها تشوه المقياس للمجالات الأساسية. علاوة على ذلك، نحلل التوسعات التقاربية القطاعية عندما |z|→∞، ونوضح أن تقريبات باديه تقلل الخطأ العددي النسبي بنسبة تصل إلى 30% مقارنةً بالمتسلسلات المقتطعة الكلاسيكية، لا سيما في قطاعات الحدود حيث يتدهور التقارب. توفر هذه النتائج فهمًا أكثر قوة للسلوك التحليلي والهندسي لـ erf(z)، مع آثار عملية على النمذجة المعقدة في الفيزياء الإحصائية ونظرية الكم ومعالجة الإشارات.